몬티 홀의 딜레마

아래는 화성에서 온 수학자란 책에 실린 문젠데 인터넷에서도 있다고 하는군요.  일단 인용합니다.

기고 - 여인갑 박사의 숫자 이야기 8
--------------------------------------------------------------------------------
몬티 홀 딜레마의 확률은 2/3
TV프로그램 중에 출연자가 자기 앞에 있는 3개의 문 중에서 하나를 선택하는 프로그램이 있다. 이 3개의 문 중 어느 한 문 뒤에만 승용차가 있고 나머지 두 문 뒤에는 염소가 있어서 만일 출연자가 선택한 문을 열어서 그 문 뒤에 승용차가 나오면 그 차는 출연자의 것이 되지만 만일 염소가 나오면 아무 것도 갖지 못하는 게임이다.

어느 출연자가 한 문을 선택했을 때 사회자는 어느 문 뒤에 승용차가 있는지 알기 때문에 남은 다른 두 문 중에서 한 문을 열어 보이고 그 뒤에 염소가 있음을 확인시킨 후(남은 두 문 중 어느 한 문 뒤에는 반드시 염소가 있을 것이다) 출연자에게 선택한 문을 바꿀 용의가 없느냐고 물었을 때 출연자는 어떤 선택을 하는 것이 유리한가를 생각해 보자.

처음 선택한 문을 그대로 고수할 것인가 아니면 사회자가 기회를 준 대로 남은 다른 문을 선택할 것인가? 이 때의 판단 기준은 무엇일까?

이와 같은 문제가 몬티 홀의 전통적 TV 게임인 "거래를 해 봅시다"라는 프로그램에서 방영되기 때문에 이를 몬티 홀 딜레마라고 부른다.

이 문제에 대한 상담을 맡은 IQ228로 기네스북에 최고의 IQ보유자로 올라 있는 보스 사반트(Marilyn vos Savant)는 1990년 9월 9일자 퍼레이드(Parade)잡지의 마릴린에게 물어보세요 라는 칼럼에서 다음과 같은 조언을 하였다.

선택을 바꾸세요. 처음 선택한 그대로의 상태로는 이길 확률이 3분의 1 이지만 다른 문으로 바꾸면 이길 승산이 두 배인 3분의 2가 됩니다.

이와 같은 조언에 독자 여러분은 어떻게 생각합니까? 물론 동의하지 못할 것이다. 마찬가지로 이 칼럼이 나가자 마자 보스 사반트는 많은 독자들로부터 항의 편지를 받았는데 그 중에는 수학자들도 많이 있었다. 항의자들의 주장은 선택을 바꾸든 바꾸지 않든 확률이 50%이지 3분의 2로 되지는 않는다는 것이었다.

1990년 12월 2일자 칼럼에서 보스 사반트는 박사학위를 갖은 두 교수들의 혹독한 희롱조의 반박문을 게재한 뒤 일어날 수 있는 가능한 경우 6가지를 (표1)과 (표 2)로 들면서 그녀의 주장을 되풀이 하였다.

(표1)과 (표2)에서 알 수 있는 바와 같이 다른 문으로 변경한 경우(표2)는 이길 확률이 3번 중 2번 인데 반하여 선택을 변경하지 않은 경우(표1)는 이길 확률이 3번 중 단 한번 밖에 없기 때문에 선택을 바꿔야 한다는 주장이었다.

그러나 이러한 그녀의 설명에도 불구하고 논란은 그치지 않았다. 따라서 그녀는 3번째로 1991년 2월 17일자 칼럼에서 이 문제에 대하여 또 언급하였다.

나는 수 천 통의 편지를 받았지만 90%는 내 설명에 동의하지 않았고 단지 10%만이 동의 하였다. 국립보건원의 통계학자나 국방정보센터 부소장으로부터의 비난의 편지도 있었다. 심지어 조지타운대학의 보보박사는 다음과 같은 심한 편지를 보내왔다. 그는 나를 염소로 생각하겠단다. 그리고 내가 여자이기 때문에 수학적인 문제를 남자와는 달리 본다는 것이다. 내가 문제를 정확히 이해하지 못하고 있을 뿐 아니라 이러한 논쟁은 수학교육적 측면에서 중대한 국가적 위기를 가져오기 때문에 공적인 관심을 불러 일으켜야 한다고 주장하였다. 내가 잘못을 인정한다면 그것은 한탄스러운 상황으로 이 문제를 이끌고 가지 않을 아주 건설적 공헌을 할 것이다. 내 마음을 바꾸기 위해 얼마나 많은 화난 수학자들이 필요할런지 모르겠다는 것이다.

그러나 상상을 해 보십시오. 만일 사회자가 염소가 있는 문을 열어 보인 후에 UFO를 타고 어떤 아가씨가 TV 스튜디오에 나타났다면 그 아가씨는 처음에 어떤 상황이 있었는지를 모르기 때문에 그 아가씨가 승용차가 있는 문을 선택할 확률은 50%가 된다. 이 아가씨는 사회자의 도움을 고려치 않았기 때문에 승률이 줄어 든 것이다.

만일 승용차가 문 #2뒤에 있다면 사회자는 문 #3을 열을 것이고 만일 승용차가 문 #3뒤에 있다면 사회자는 문 #2를 열을 것이다. 따라서 출연자가 선택을 변경한다면 승용차가 문 #2에 있거나 #3에 있거나 어떤 경우에든지 출연자는 승용차를 탈 수 있을 것이다. 그러나 선택을 바꾸지 않는다면 승용차가 문 #1 뒤에 있을 경우에만 출연자가 승리할 수 있다.

이와 같은 보스 사반트의 주장은 옳은 것이고 이 때문에 많은 수학자들의 체면이 구겨졌지만 이 주장에 승복할 수 밖에 없을 것이다.

이후에 한 수학자가 PC로 몬테칼로 시뮬레이션을 수 백번 시도해 보았는데 놀랍게도 선택을 바꾸는 경우의 승률이 2대1로 나타났다. 관심있는 독자들은 한번 시험을 통한 확인을 해 볼 필요가 있을 것이다

--------------------------------------------------------------------------(인용 끝)

*** 한참을 끙끙거려도 제가 보기에는 선택을 바꿀 경우 상을 탈 확률이 1/2로 보여서리, 몬참고 인터넷검색으로 ‘몬티 홀’을 찾았더니 복잡한 확률계산 공식이 나오더군요. 위의 보스 사반트 말이 맞다(바꾸면 확률이 2/3으로 증대한다)는 것을 뒷받침하고 있습니다. 요약하면,

1. 문 세 개가 있다. 문 하나 뒤에 승용차, 나머지 둘 뒤에는 염소가 있다.
2. 당신이 문 하나를 선택한다. (아직 열지 않은 상태이다.)
3. 사회자가 나머지 문 둘 중 염소가 있는 문을 열어제낀다.
4. 그리고 묻는다. 지금 잡으신 문에서 손 떼고 나머지 하나 남은 문으로 바꾸실래요?
5. 자, 바꾸는 게 좋은가, 걍 무시하고 초지일관하는 거이 좋은가?

답 : 초지일관하면 확률 1/3 (1/2이 아니다!!!), 바꾸면 확률이 2/3로 증대랍니다. 이유를 생각해 보세요.